Monty Hallen paradoxa

Hasi baino lehen aitortu behar dut Monty Hallek ez zuela paradoxa hau proposatu. Monty Hall Let’s Make a Deal izeneko telebista saioaren aurkezlea zen. Nik ez dut inoiz ikusi, baina antzeko erabakiak hartu behar zituzten nire garaian jokalariek Un, dos, tres, … responda otra vez telesaioan. Imaginatu jokatzen ari zarela, eta kotxea irabazteko zein ateren atzean dagoen asmatu behar duzula. Hiru ate daude, biren atzean kuia besterik ez duzu topatuko, eta bestearen atzean amestu duzun kotxe liluragarria dago. Noren atzean ezin jakin, ordea. Aztarnarik ez. Kiko Legardek ate bat  hautatzeko eskatzen dizu. Zure barneko ahotsaren aholkua entzunda, ate bat hautatzen duzu. Ate hori ireki baino lehen, Kikok zera diotsu: “Lagunduko dizut piska bat”, eta beste ate bat irekitzen dizu, non kuia bat dagerren. Eta orduan galdetzen dizu: “Zure lehen aukerari eutsi nahi al diozu?”.

Zer egingo zenuke? Hautatutako atea mantendu, edo bestea hartu oraingoan?

Jende gehienak berdin dela pentsatzen dut. Aukeratutakoari eutsi, edo iritzia aldatu berdin dela, itxita dauden ateen atzean kotxea eta kuia daude eta kokapena ekiprobablea delako. Eta horrela pentsatuta, askok eutsiko liokete lehen aukerari. Steve Selvinek plazaratu zuen paradoxa hau 1975an, baina ezaguna egin zen C. F. Whitaker-rek Marilyn vos Savant-i (garai batean munduko pertsonarik azkarrena) galdetu zionean 1990. Vos Savantek ondo erantzun zuen bere Paradeko zutabean: egokiena beste atea hartzea da.

Nahiz eta ondo erantzun, hika-mika handia zabaldu zuen. 10etatik 9 ez ziren ados Vos Savanten erantzunarekin, unibertsitateko irakasleak eta ikerlariak barne. Ulertzeko baldintzazko probabilitatea ulertu behar da. Hasieran, asmatzeko probabilitatea heren bat da. Baina oker bazaude, Kikok emandako informazioarekin, iritziz aldatuz gero, asmatuko duzu beti. Zuzen bazaude, aldatuz gero erreka joko duzu, noski. Hortaz, aldatzeko politikarekin zure kotxea lortzeko probabilitatea bi herenekoa da.

Azalpen grafikoa hemen duzue ingelesez. Estatu Batuetako telesaioan ahuntzak erabiltzen zituzten. Beste lekuren batean Perseo, bi gorgoiak eta printzesa bat erabili izan dira paradoxa hau adierazteko.

Paradoxaren dotorezia albo batera utzita, erabaki konplexuetan gaizki ulertzen ditugun jazoerak ekiprobableak direla pentsatzeko isuria dugula gogorazi nahi dut honetan. Hauteslearen isuriak kontuan hartu behar dira egoera askotan. Eta informazio berriarekin berriz pentsatu behar ditugu aukerak. Ez dadila izan dena “sostenella y no enmendalla”.

Iñaki Agirre Pérez

San Petersburgoko paradoxa

Paradoxa itxurazzentzugabea edo buruaren kontrakoa dela dio hiztegiak. Alta, paradoxak,  gure ustearen ustela agerian utziz, zentzu sakonagorako bideak erakusten dizkigu. Horregatik ditugu hain gustuko.

Gaurkoan ale bitxi bat ekarri nahi dizuet. Daniel Bernoulli matematikari ospetsuak plazaratu zuen, 1738an San Petersburgon emandako hitzaldi batean. Ideia, hala eta guztiz ere, bere lehengusu Nicolas Bernoulliri zor diogu.

Jo dezagun San Petersburgoko kasinoan joku berri bat asmatu dutela. Jokatzeko, sarrera ordaindu behar duzu, baina gero txanda guztiak dohainik dira.

Croupierrak txanda bakoitzean leon-kastillo botatzen du. Jokalariak kastillo (ifrentzua) ateratzen denean irabazten du, eta jokua bukatu da. Jokalariak irabazteko probabilitate osoa du, gero. Hala eta guztiz ere, saria ez da beti berdina. Lehen txandan asmatuz gero, rublo bat poltsikoratzen du. Bigarrenean, bi rublo. Hirugarrenean, lau rublo. Oro har, 2^(n-1) rublo ematen du kasinoak, n. txandan asmatuz gero.

Zenbat ordainduko zenuke sarrera gisa San Petersburgoko loteria honetan jokatzeko? Daniel Bernoullik sariaren itxaropen matematikoa erabili zuen sarrera hura kalkulatzeko. Lehendabizikoan asmatzeko probabilitatea 1/2 da, bider saria (rublo 1) berdin 1/2. Bigarren txandan asmatzeko probabilitatea 1/4 da, bider saria (2 rublo), berdin 1/2. Oro har, batuketaren termino bakoitza 1/2 da, eta hortaz sariaren itxaropen matematikoa infinitura doa. Zenbat ordainduko luke jokalari batek sartzeagatik? Daukan guztia!

Momentu bat. Sariaren itxaropen matematikoa infinitura doa, baina 1/2 probabilitatearekin rublo bakar bat irabaziko duzu. Benetan duzun guztia jokatuko zenuke? Ez, hortxe dago paradoxa. Jendeak asko jota 25 rublo jokatuko luke, baina ez duen guztia.

Paradoxa honek jendearen erabaki arrazionalak ulertzeko itxaropen matematikoa nahikoa ez dela erakusten digu.

Paradoxa konpontzeko ahaleginean Daniel Bernoullik Baliagarritasun marginal beherakorraren legea zirriborratu zuen, baina auzia ez dago guztiz itxita. Baliagarritasunaren teorian  aurrera eginez, baliagarritasuna atributu-anitza dela ebaki zuten batzuek 1970 hamarkadan. Horren ondorioz balioaren hirukia sortu zuen Atkin-ek 1990an, proiektuen kudeaketan urrezko edo altzairuzko hirukia (iron triangle) esaten dioguna.

Katea kritikoa teknika barruan, baleko programazioa, azken finean, pentsamolde honetik datorkigu.

Beste batzuk paradoxa honen eta beste ezintasun batzuen ondorioz positibismoaren eta ekonomia neoklasikoaren kontra jo zuten, eta ikuspuntu postmodernista batetik kontsentsuaren bila abiatu ziren. Proiektuen kudeaketan erabiltzen dugun Delphi metodoa ildo honetatik datorkigu.

Keynesek arrisku erlatiboa aipatu zuen paradoxa hau konpontzeko asmoz.

Proiektuen kudeaketan arriskua nola kudeaketu, eta teknika berriak nola aplikatu jakin nahiez gero, oraintxe duzue aukera “Proiektuen kudeaketarako teknika berriak” ikastaroan.

Iñaki Agirre Pérez